Formelsammlung

Formeln & Lösungswege.

Der komplette Stoff aus dem Skript „Mathematik für Wirtschaftswissenschaften“ – je Thema Formeln auf einen Blick, alle Definitionen, Sätze und Verfahren und ein Beispiel, das du Schritt für Schritt aufdeckst.

Lineare Algebra

Vektorräume & Basis

R^{n}

Abbildung, Körper, Vektorraum, Unterraum, Linearkombination, lineare (Un-)Abhängigkeit, Basis.

\sum_{i = 1}^{m} λ_{i} x_{i} = 0 \Rightarrow λ_{1} = \dots = λ_{m} = 0

5 Formeln · 4 Abschnitte · Beispiel

Vektorrechnung

x \cdot y

Skalarprodukt, Orthogonalität, Kreuzprodukt, Betrag, Normierung, Winkel, Orts- und Verbindungsvektoren.

x ⊥ y ⟺ x^{T} y = 0

7 Formeln · 4 Abschnitte · Beispiel

Matrizen & Rang

(a_{ij})

Matrixtypen, Rechenoperationen und -regeln, Permutationen, dyadisches Produkt, Rang und rangerhaltende Umformungen.

(A \cdot B)^{T} = B^{T} \cdot A^{T}, (A^{T})^{T} = A

5 Formeln · 4 Abschnitte · Beispiel

Inverse & Determinante

A^{- 1}

Inverse mit dem Gauß-Algorithmus, Rechenregeln, Determinanten (Sarrus, Laplace), Adjunkte und Adjungierte.

det A = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{31} a_{22} a_{13} - a_{32} a_{23} a_{11} - a_{33} a_{21} a_{12}

8 Formeln · 2 Abschnitte · Beispiel

Lineare Gleichungssysteme

A x = b

Lösbarkeit über den Rang, Gauß-Algorithmus, Cramersche Regel, unterbestimmte Systeme, Basislösung und Basistausch.

rg (A) = rg (A, b) = n

6 Formeln · 5 Abschnitte · Beispiel

Lineare Optimierung

c^{T} x \to max

Zielfunktion und Nebenbedingungen, Standardform, Schlupfvariablen, zulässiger Bereich, Ecken und zulässige Basislösungen.

A x = b, b \geq 0, x \geq 0, rg (A) = m < n

6 Formeln · 3 Abschnitte · Beispiel

Simplex-Verfahren

Simplex

Simplex-Tableau, Wahl von Pivotspalte und Pivotzeile (Quotientenkriterium), Pivotoperation, Optimalität und Unbeschränktheit.

c_{j}^{-} \geq 0 f u ¨ r alle j

5 Formeln · 3 Abschnitte · Beispiel

Analysis

Reelle Funktionen

f : D \to B

Definition, Monotonie, Beschränktheit, Krümmung, Symmetrie, Nullstellen, Verkettung, Umkehrfunktion, Asymptoten, Stetigkeit.

f (- x) = f (x) f (- x) = - f (x)

7 Formeln · 4 Abschnitte · Beispiel

Differentialrechnung

f^{'} (x)

Differenzierbarkeit, Tangente, Änderungsrate und Elastizität, Ableitungsregeln, höhere Ableitungen und Ableitungstabellen.

g (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

8 Formeln · 4 Abschnitte · Beispiel

Monotonie, Krümmung & Extrema

f^{''} (x_{E})

Monotonie und Krümmung über Ableitungen, lokale und globale Extrema, hinreichende Bedingungen für Extrema und Wendepunkte.

f^{''} > 0 \Rightarrow streng konvex, f^{''} < 0 \Rightarrow streng konkav

5 Formeln · 2 Abschnitte · Beispiel

Grenzwerte & L'Hospital

lim

Unbestimmte Ausdrücke auflösen: Kürzen, Leitkoeffizienten, Standardgrenzwerte, Regel von de l'Hospital.

lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1

4 Formeln · 1 Abschnitte · Beispiel

Integralrechnung

\int f

Stammfunktion, unbestimmtes und bestimmtes Integral, Hauptsatz, Eigenschaften und Integrationsregeln.

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1)

7 Formeln · 2 Abschnitte · Beispiel

Taylor-Entwicklung

T_{n} (x)

Satz von Taylor, Taylorpolynom, Lagrange'sches Restglied und Taylorreihe.

R_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - x_{0})^{n + 1}

3 Formeln · 1 Abschnitte · Beispiel

Funktionen mehrerer Variablen

\nabla f

Norm, Grenzwert, Stetigkeit, partielle Ableitungen, Gradient, Hesse-Matrix, Satz von Schwarz, Konvexität und Extrema.

\nabla f (x^{0}) = (f_{1}^{'} (x^{0}), \dots, f_{n}^{'} (x^{0}))

6 Formeln · 3 Abschnitte · Beispiel

Extrema unter Nebenbedingungen

L (x, λ)

Lagrange'sche Multiplikatorregel und praktisches Vorgehen mit der Lagrange-Funktion.

L_{x_{1}}^{'} = \dots = L_{x_{n}}^{'} = 0, L_{λ_{1}}^{'} = \dots = L_{λ_{m}}^{'} = 0

3 Formeln · 1 Abschnitte · Beispiel

Ökonomische Funktionen

G = E - K

Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion, Betriebsoptimum und -minimum, Grenzkosten, Break-even und Zeitreihenmodelle.

k (x) = \frac{K ( x )}{x}, k_{v} (x) = \frac{K _{v} ( x )}{x}

7 Formeln · 2 Abschnitte · Beispiel

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