Lineare Algebra

Inverse & Determinante

Inverse mit dem Gauß-Algorithmus, Rechenregeln, Determinanten (Sarrus, Laplace), Adjunkte und Adjungierte.

Formeln auf einen Blick

Determinante 2×2

det (a c b d) = a d - b c

Sarrus 3×3

det A = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{31} a_{22} a_{13} - a_{32} a_{23} a_{11} - a_{33} a_{21} a_{12}

Inverse 2×2

A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)

Inverse über Adjungierte

A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} \cdot A_{a d}

Gauß-Jordan

(A ∣ E) ⟶ (E ∣ A^{- 1})

Produkt

(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}

Laplace (Zeile i)

det A = j = 1 \sum n a_{ij} A_{ij}, A_{ij} = (- 1)^{i + j} ∣ A ∣_{ij}

Dreiecksmatrix

det D = i = 1 \prod n d_{ii}

Skript

1.Inverse Matrix

Definition · Inverse

Gibt es zu einer quadratischen $n \times n$ -Matrix $A$ eine Matrix $A^{- 1}$ mit $A \cdot A^{- 1} = A^{- 1} \cdot A = E$ , so heißt $A^{- 1}$ die Inverse von $A$ , und $A$ heißt invertierbar. Die Inverse existiert genau dann, wenn $rg (A) = n$ .

Verfahren · Gauß-Algorithmus (C. F. Gauß, 1777–1855)

Das Ausgangstableau $(A ∣ E)$ wird mit den drei rangerhaltenden Zeilenumformungen so lange umgeformt, bis links die Einheitsmatrix steht. Rechts steht dann die Inverse.

(A ∣ E) ⟶ (E ∣ A^{- 1})

Vertauschen zweier Zeilen
Multiplikation einer Zeile mit $c \neq = 0$
Addition eines Vielfachen einer Zeile zum Vielfachen einer anderen Zeile

Satz

$A$ besitzt genau dann eine Inverse, wenn $rg (A) = n$ . Entsteht links im Endtableau mindestens eine Nullzeile, existiert die Inverse nicht.

Satz · Rechenregeln für Inverse

Die Inverse ist eindeutig bestimmt.
$(A^{- 1})^{- 1} = A$
$(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T}$
$(A \cdot B)^{- 1} = B^{- 1} \cdot A^{- 1}$
$(λ A)^{- 1} = \frac{1}{λ} A^{- 1}$ für $λ \neq = 0$

Definition · Regulär, äquivalent, ähnlich

Eine $n \times n$ -Matrix heißt regulär, wenn sie vollen Rang $n$ hat.
$A, A^{'}$ ( $m \times n$ ) heißen äquivalent, wenn es reguläre $S$ ( $m \times m$ ) und $T$ ( $n \times n$ ) gibt mit $A^{'} = S A T^{- 1}$ .
$A, A^{'}$ ( $n \times n$ ) heißen ähnlich, wenn es eine reguläre $T$ gibt mit $A^{'} = T A T^{- 1}$ .

2.Determinanten

Die Determinante ordnet einer $n \times n$ -Matrix eine reelle Zahl zu, geschrieben $det (A) = ∣ A ∣$ . Sie hilft beim Lösen spezieller LGS, bei der Berechnung der Inversen und bei der Bestimmung von Eigenwerten.

Definition · Determinante einer 2×2-Matrix

Hauptdiagonale minus Nebendiagonale (im Skript ebenfalls „Regel von Sarrus“ genannt). Geometrisch: Das Einheitsquadrat geht in ein Parallelogramm mit Fläche $F = ∣ det A ∣$ über.

det (A) = a_{11} a_{21} a_{12} a_{22} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}

Definition · Determinante einer 3×3-Matrix (Regel von Sarrus)

Man schreibt die ersten beiden Spalten rechts neben die Matrix, addiert die drei Produkte parallel zur Hauptdiagonalen und subtrahiert die drei Produkte parallel zur Nebendiagonalen. Sind die Spalten linear unabhängig, spannen sie einen Spat mit Volumen $V = ∣ det A ∣$ auf.

det (A) = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{31} a_{22} a_{13} - a_{32} a_{23} a_{11} - a_{33} a_{21} a_{12}

Definition · Minor und Adjunkte

Streicht man Zeile $i$ und Spalte $j$ , ist die Determinante $∣ A ∣_{ij}$ der Restmatrix der Minor (Unterdeterminante) zu $a_{ij}$ . Die Adjunkte (algebraisches Komplement) ist

A_{ij} = (- 1)^{i + j} \cdot ∣ A ∣_{ij}

Definition · Adjungierte Matrix

Ersetzt man jedes $a_{ij}$ durch $A_{ij}$ und transponiert, erhält man die Adjungierte:

A_{a d} = A_{11} A_{12} ⋮ A_{1 n} A_{21} A_{22} A_{2 n} \dots \dots \dots A_{n 1} A_{n 2} ⋮ A_{nn}, A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} \cdot A_{a d}

Satz · Entwicklungssatz von Laplace (1749–1827)

Die Determinante kann nach einer beliebigen Zeile i oder Spalte j entwickelt werden:

det A = j = 1 \sum n a_{ij} A_{ij} (Zeile i) det A = i = 1 \sum n a_{ij} A_{ij} (Spalte j)

Satz

Entwickelt man mit den Adjunkten einer fremden Zeile/Spalte, ergibt sich 0:

j = 1 \sum n a_{k j} A_{ij} = {det A 0 k = i k \neq = i i = 1 \sum n a_{ik} A_{ij} = {det A 0 k = j k \neq = j

Satz · Dreiecksmatrix

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Hauptdiagonalelemente:

det (D) = i = 1 \prod n d_{ii}

Beispiel · Schritt für Schritt

A = (2513), A^{- 1} = ?

Üben

Gemischte Aufgaben Determinanten Inverse 2×2

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