Analysis

Grenzwerte & L'Hospital

Unbestimmte Ausdrücke auflösen: Kürzen, Leitkoeffizienten, Standardgrenzwerte, Regel von de l'Hospital.

Formeln auf einen Blick

Rationale Funktion, gleicher Grad

x \to \infty lim \frac{a _{n} x ^{n} + \dots}{b _{n} x ^{n} + \dots} = \frac{a _{n}}{b _{n}}

Standardgrenzwert Sinus

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

Eulersche Zahl

n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e

Regel von de l'Hospital

lim \frac{f}{g} = lim \frac{f ^{'}}{g ^{'}} bei \frac{0}{0} oder \frac{\infty}{\infty}

Skript

1.Regel von de l'Hospital

Satz · Regel von de l'Hospital (G. F. A. Marquis de l'Hospital, 1661–1704)

$f$ und $g$ seien auf $(a, b)$ bzw. $R$ differenzierbar mit $g^{'} (x) \neq = 0$ . Gilt für $x \to + \infty$ (analog $x \to - \infty$ ) einer der Fälle

so gilt x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = x \to \pm \infty lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}

$lim f (x) = lim g (x) = 0$
$lim f (x) = \pm \infty$ und $lim g (x) = \pm \infty$

Bemerkung

Voraussetzung ist, dass der rechte Grenzwert im eigentlichen oder uneigentlichen Sinne existiert. Die Regel gilt entsprechend auch für $x \to x_{0}$ .

Beispiel · Schritt für Schritt

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}

Üben

Gemischte Aufgaben Grenzwerte

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