Analysis

Differentialrechnung

Differenzierbarkeit, Tangente, Änderungsrate und Elastizität, Ableitungsregeln, höhere Ableitungen und Ableitungstabellen.

Formeln auf einen Blick

Definition

f^{'} (x_{0}) = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}

Tangente

g (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

Elastizität

ε_{f} (x) = x \cdot \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}

Potenzregel

(x^{α})^{'} = α x^{α - 1}

Produktregel

(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}

Quotientenregel

(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - g ^{'} f}{g ^{2}}

Kettenregel

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

Umkehrfunktion

(f^{- 1})^{'} (y_{0}) = \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )}, y_{0} = f (x_{0})

Skript

1.Ableitung, Differential, Tangente

Definition · Differenzierbarkeit

$f$ sei auf $(a, b)$ definiert, $x_{0} \in (a, b)$ . Existiert der Grenzwert, heißt er Ableitung von $f$ an der Stelle $x_{0}$ , und $f$ heißt dort differenzierbar. $f$ heißt differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle des offenen Definitionsbereichs differenzierbar ist.

f^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h} = \frac{df ( x )}{d x}_{x = x_{0}}

Bemerkung

Man schreibt $\frac{df ( x )}{d x} = f^{'} (x)$ bzw. $\frac{d y}{d x} = f^{'} (x)$ für $y = f (x)$ . $d x$ heißt Differential; $d y = df (x) = f^{'} (x) d x$ ist das Differential von $y = f (x)$ .

Definition · Differenzenquotient

\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} = \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}

Definition · Tangente

Die Gerade durch $P_{0} (x_{0}, f (x_{0}))$ mit Steigung $f^{'} (x_{0})$ heißt Tangente an $f$ in $P_{0}$ . Es gilt $f^{'} (x_{0}) = tan φ$ , wobei $φ$ der Winkel zwischen Tangente und $x$ -Achse ist.

g (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

2.Änderungsrate und Elastizität

Definition

Für differenzierbares $f$ mit $f (x) \neq = 0$ heißen

r_{f} (x) = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} (A ¨ nderungsrate), ε_{f} (x) = x \cdot r_{f} (x) = x \cdot \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} (Elastizit a ¨ t)

Bemerkung

Die Elastizität ist das Verhältnis der relativen Änderungen von $f$ und $x$ . Für kleine $h$ gilt (für $h \to 0$ mit Gleichheit):

\frac{\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{f ( x )}}{\frac{( x + h ) - x}{x}} = \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} \cdot \frac{x}{f ( x )} \approx f^{'} (x) \cdot \frac{x}{f ( x )} = ε_{f} (x)

3.Differentiationsregeln

Satz

Sind $f$ und $g$ an der Stelle $x$ differenzierbar, so auch $c \cdot f$ , $f \pm g$ , $f \cdot g$ , $\frac{f}{g}$ und $\frac{1}{g}$ (für $g (x) \neq = 0$ ), und es gilt:

Konstantenregel: $(c \cdot f (x))^{'} = c \cdot f^{'} (x)$
Summen-/Differenzenregel: $(f (x) \pm g (x))^{'} = f^{'} (x) \pm g^{'} (x)$
Produktregel: $(f (x) \cdot g (x))^{'} = f^{'} (x) g (x) + g^{'} (x) f (x)$
Quotientenregel: $(\frac{f ( x )}{g ( x )})^{'} = \frac{f ^{'} ( x ) g ( x ) - g ^{'} ( x ) f ( x )}{g ^{2} ( x )}$
Reziprokenregel: $(\frac{1}{g ( x )})^{'} = - \frac{g ^{'} ( x )}{g ^{2} ( x )}$

Satz · Kettenregel

Ist $g$ in $x_{0}$ und $f$ in $g (x_{0})$ differenzierbar (mit $g (D_{g}) \subset D_{f}$ ), so ist $f \circ g$ in $x_{0}$ differenzierbar:

(f (g (x_{0})))^{'} = f^{'} (g (x_{0})) \cdot g^{'} (x_{0})

Satz · Ableitung der Umkehrfunktion

$f$ sei auf $D_{f}$ streng monoton und stetig, in $x_{0}$ differenzierbar mit $f^{'} (x_{0}) \neq = 0$ . Dann ist $f^{- 1}$ in $y_{0} = f (x_{0})$ differenzierbar:

(f^{- 1})^{'} (y_{0}) = \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y _{0} ) )}

Definition · Ableitungen höherer Ordnung

mit $f^{(0)} = f$ , $f^{(1)} = f^{'}$ , $f^{(2)} = f^{''}$ , $f^{(3)} = f^{'''}$ .

f^{(n)} (x) = h \to 0 lim \frac{f ^{(n - 1)} ( x + h ) - f ^{(n - 1)} ( x )}{h} = \frac{d f ^{(n - 1)} ( x )}{d x} = \frac{d ^{n} f ( x )}{d x ^{n}}

4.Ableitungstabellen

Satz · Elementare Funktionen

f (x) c ln ∣ x ∣ (x \neq = 0), ln x (x > 0) lo g_{b} x (x > 0) e^{x} b^{x} x^{α}, α \in R f^{'} (x) 0 \frac{1}{x} \frac{1}{x l n b} e^{x} b^{x} ln b α x^{α - 1}

Satz · Trigonometrische Funktionen

f (x) sin x cos x tan x = \frac{s i n x}{c o s x} cot x = \frac{c o s x}{s i n x} f^{'} (x) cos x - sin x \frac{1}{c o s ^{2} x} = 1 + tan^{2} x - \frac{1}{s i n ^{2} x} = - (1 + cot^{2} x)

Satz · Arkusfunktionen

f (x) arcsin x arccos x arctan x arccot x f^{'} (x) \frac{1}{1 - x ^{2}} - \frac{1}{1 - x ^{2}} \frac{1}{1 + x ^{2}} - \frac{1}{1 + x ^{2}}

Satz · Hyperbolische Funktionen

f (x) sinh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} cosh x = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} tanh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} coth x = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{e ^{x} - e ^{- x}} f^{'} (x) cosh x sinh x \frac{1}{c o s h ^{2} x} = 1 - tanh^{2} x - \frac{1}{s i n h ^{2} x} = 1 - coth^{2} x

Satz · Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen

f (x) arsinh x = ln (x + x^{2} + 1), x \in R arcosh x = ln (x \pm x^{2} - 1) artanh x = ln \frac{1 + x}{1 - x}, ∣ x ∣ < 1 arcoth x = ln \frac{x + 1}{x - 1}, ∣ x ∣ > 1 f^{'} (x) \frac{1}{1 + x ^{2}} \frac{1}{x ^{2} - 1} \frac{1}{1 - x ^{2}} \frac{1}{1 - x ^{2}}

Bemerkung

$(artanh x)^{'}$ und $(arcoth x)^{'}$ sind beide $\frac{1}{1 - x ^{2}}$ – sie unterscheiden sich nur im Definitionsbereich ( $∣ x ∣ < 1$ bzw. $∣ x ∣ > 1$ ). Beim $arcosh$ gilt im Skript das Minus für $x \leq 0$ , das Plus für $x \geq 0$ .

Beispiel · Schritt für Schritt

f (x) = x^{2} e^{3 x}

Üben

Gemischte Aufgaben Polynome ableiten Produktregel Kettenregel Elastizität

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